德州牌型概率

5 张牌组合的牌型概率

以下按从高到低的顺序列出牌型概率：

1. 皇家同花顺（Royal Flush）概率是 $1.54\times 10^{-6}$，约每649,739次有一次。
2. 同花顺（Straight Flush）概率是 $1.39\times 10^{-5}$，约每72,193次有一次
3. 四条（Four of a Kind）概率是 $2.40\times 10^{-4}$，约每4,165次有一次。
4. 葫芦（Full House）概率是 $1.44\times 10^{-3}$，约每694次有一次
5. 同花（Flush）概率是 $1.97\times 10^{-3}$，约每509次有一次。
6. 顺子（Straight）概率是 $3.92\times 10^{-3}$，约每255次有一次。
7. 三条（Three of a Kind）概率是 $9.14\times 10^{-3}$，约每109次有一次
8. 两对（Two Pair）概率是 $4.75\times 10^{-2}$，约每21次有一次。
9. 一对（One Pair）概率是 $0.358$，约每3次有一次。
10. 高牌（High Card）概率是 $0.578$，约每2次有一次。

各牌型的组合数与计算

皇家同花顺

皇家同花顺由同一花色的 A、K、Q、J、10 组成。一副扑克牌有四种花色，因此皇家同花顺有 4 种组合。

一副扑克牌有52张牌。从52张牌中抽取5张牌的组合数为 $C(52,5)$，其中 $C(n,k)$ 表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。

皇家同花顺的概率为：

$$P(\text{Royal Flush})=\frac{\text{Number of Royal Flush combinations}}{\text{Total number of 5-card combinations}}=\frac{4}{C(52,5)}$$

皇家同花顺的概率是 $1.54\times 10^{-6}$，约每649,739次有一次。

同花顺

同花顺由同一花色的五张连续牌组成。计算时排除皇家同花顺，后者属于同花顺的一种特殊情况。

每种花色有9种同花顺，例如 A-2-3-4-5、2-3-4-5-6、…、9-10-J-Q-K；共 $4\times 9=36$ 种。

同花顺的概率为：

$$P(\text{Straight Flush})=\frac{\text{Number of Straight Flush combinations excluding Royal Flush}}{\text{Total number of 5-card combinations}}=\frac{36}{C(52,5)}$$

同花顺的概率是 $1.39\times 10^{-5}$，约每72,193次有一次。

四条

四条由四张同一点数的牌和一张其他任意牌组成。一副扑克牌有13种点数，因此有13种四条；每种四条的第五张牌有48种选择，共 $13\times 48=624$ 种。

四条的概率为：

$$P(\text{Four of a Kind})=\frac{\text{Number of Four of a Kind combinations}}{\text{Total number of 5-card combinations}}=\frac{624}{C(52,5)}$$

四条的概率是 $2.40\times 10^{-4}$，约每4,165次有一次。

葫芦

葫芦由三张同一点数的牌和两张另一点数的牌组成。三条的点数有13种，另一对的点数有12种，共 $13\times 12=156$ 种点数组合。

每种点数有4张牌，三条有 $C(4,3)=4$ 种组合，两对有 $C(4,2)=6$ 种组合，因此葫芦共有 $156\times 4\times 6=3744$ 种组合。

葫芦的概率为：

$$P(\text{Full House})=\frac{\text{Number of Full House combinations}}{\text{Total number of 5-card combinations}}=\frac{3744}{C(52,5)}$$

葫芦的概率是 $1.44\times 10^{-3}$，约每694次有一次。

同花

同花由同一花色的五张牌组成。4种花色中，每种花色有 $C(13,5)=1287$ 种组合。排除同花顺和皇家同花顺后，每种花色排除10种同花顺，共得到 $4\times 1287-4\times 10=5108$ 种同花。

同花的概率为：

$$P(\text{Flush})=\frac{\text{Number of Flush combinations excluding Straight Flush and Royal Flush}}{\text{Total number of 5-card combinations}}=\frac{5108}{C(52,5)}$$

同花的概率是 $1.97\times 10^{-3}$，约每509次有一次。

顺子

顺子由五张连续的牌组成。一副扑克牌有10种顺子，例如 A-2-3-4-5、2-3-4-5-6、…、10-J-Q-K-A。每种顺子有4的5次方（1024）种花色组合。排除同花顺后，每种顺子有4种同花顺，共有 $10\times 1024-4\times 10=10,200$ 种顺子。

顺子的概率为：

$$P(\text{Straight})=\frac{\text{Number of Straight combinations excluding Straight Flush}}{\text{Total number of 5-card combinations}}=\frac{10200}{C(52,5)}$$

顺子的概率是 $3.92\times 10^{-3}$，约每255次有一次。

三条

三条由三张同一点数的牌和两张其他任意牌组成。13种点数中，每种三条的第四张牌有48种选择，第五张牌有44种选择，合计 $13\times 48\times 44=27,504$ 种组合。排除葫芦和四条后：每种点数有 $C(4,3)=4$ 种三条，$C(4,4)=1$ 种四条，需要排除 $13\times 4\times 12\times 6+13\times 1\times 48=3,744$ 种组合。因此有 $27,504-3,744=23,760$ 种三条。

三条的概率为：

$$P(\text{Three of a Kind})=\frac{\text{Number of Three of a Kind combinations excluding Full House and Four of a Kind}}{\text{Total number of 5-card combinations}}=\frac{23760}{C(52,5)}$$

三条的概率是 $9.14\times 10^{-3}$，约每109次有一次。

两对

两对由两张相同点数的牌、两张另一相同点数的牌和一张其他牌组成。13种点数中，可选的两对点数有 $C(13,2)=78$ 种；第五张牌有44种选择，即 $78\times 44=3432$ 种。每种点数有4张牌，每一对有 $C(4,2)=6$ 种组合，第五张牌有4种花色，因此两对共有 $78\times 6\times 6\times 4=123,552$ 种组合。

两对的概率为：

$$P(\text{Two Pair})=\frac{\text{Number of Two Pair combinations}}{\text{Total number of 5-card combinations}}=\frac{123552}{C(52,5)}$$

两对的概率是 $4.75\times 10^{-2}$，约每21次有一次。

一对

一对由两张相同点数的牌和三张其他任意牌组成。13种点数中，每种一对的第三、第四、第五张牌分别有48、44、40种选择，共 $13\times 48\times 44\times 40=1,098,240$ 种组合。排除两对、三条、葫芦和四条：每种点数有 $C(4,2)=6$ 种一对，需要排除 $13\times 6\times 12\times 6\times 4+13\times 4\times 48+13\times 4\times 12\times 6+13\times 1\times 48=123,552+29,952+14,976+624=169,104$ 种组合。因此有 $1,098,240-169,104=929,136$ 种一对。

一对的概率为：

$$P(\text{One Pair})=\frac{\text{Number of One Pair combinations excluding Two Pair, Three of a Kind, Full House, and Four of a Kind}}{\text{Total number of 5-card combinations}}=\frac{929136}{C(52,5)}$$

一对的概率是 $0.358$，约每3次有一次。

高牌

高牌指不符合上述任何牌型的五张牌，其概率为：

$$P(\text{High Card})=1-P(\text{One Pair})-P(\text{Two Pair})-P(\text{Three of a Kind})-P(\text{Straight})-P(\text{Flush})-P(\text{Full House})-P(\text{Four of a Kind})-P(\text{Straight Flush})-P(\text{Royal Flush})$$

高牌的概率是 $0.578$，约每2次有一次。

以上概率基于从一副52张牌中随机抽取5张牌的情况。在实际的德州扑克游戏中，玩家可以选择是否换牌，因此各牌型的实际概率可能不同。